本文讨论代数数论中的一个基本的定理——Stickelberger定理，并在J.S. Milne, Algebraic Number Theory中Proposition 2.40 (b)的基础上补充一些细节。
基本表述：（Stickelberger定理）若\(K\)是代数数域（有理数域的代数扩张），那么
\[ \text{disc}(\mathcal{O}_K/\mathbb{Z})\equiv 0,1\pmod{4} \]证明：（J.S. Milne） 我们选取\(\mathcal{O}_K\)在\(\mathbb{Z}\)上的一组基底\(\alpha_1,\alpha,\cdots,\alpha_m\)，那么根据命题2.26：
\[ \begin{aligned} \text{disc}(\mathcal{O}_K/\mathbb{Z}) &= D(1,\alpha,\cdots,\alpha_m)\\ &= \text{det}^2(\sigma_i\alpha_j) \end{aligned} \]将\(\text{det}(\sigma_i\alpha_j)\)中偶置换对应的和记作\(P\)，奇置换对应的和记作\(-N\)，那么
\[ \text{det}^2(\sigma_i\alpha_j)=(P-N)^2=(P+N)^2-4PN \]设\(L\)是\(K\)在\(Q\)上的Galois闭包，任取\(\tau\in\text{Gal}(L/\mathbb{Q})\)，我们都有
\[ \tau P=P,\ \tau N=N\quad\text{ or }\quad \tau P=N,\ \tau N=P \tag{1}\label{1} \]于是\(P+N,PN\in\mathbb{Q}\)，又由于它们在\(\mathbb{Z}\)上是代数整数
本文剩余的部分给出该证明的两个附注。
\eqref{1}：Milne在此处并未详细解释这两种情况是如何得出的。事实上，对于\(\text{Gal}(L/\mathbb{Q})\)中的元素\(\tau\)，
\[ \tau\circ\sigma_i=\sigma_{\tilde\tau(i)} \]也即\(\sigma_i\)与\(\tau\)的复合相当于\(\{\sigma_1,\cdots,\sigma_m\}\)上的一个置换，这是因为，若\(\mathcal{O}_K=\mathbb{Z}[\alpha]\)，设\(\alpha\)的极小多项式为\(f\)，则
\[ \tau(\sigma_i(\alpha))=\tau(\alpha_i) \]然而，
\[ f(\tau(\alpha_i))=\tau(f(\alpha_i))=0 \]于是，
\[ \tau(\alpha_i)=\alpha_{\tilde\tau(i)} \]由于\(\tau\)是一种同构\(L\rightarrow L\)，故它是单射，从而\(\tilde\tau\)也是单射。
我们以\(\tau P\)为例，将\(P\)展开：
\[ \begin{aligned} P &= \sum\limits_{\pi\in A_m}(-1)^{\text{inv}(\pi)}\prod\limits_{i=1}^m\sigma_{\pi(i)}\alpha_i\\ &= \sum\limits_{\pi\in A_m}\prod\limits_{i=1}^m\sigma_{\pi(i)}\alpha_i \end{aligned} \]类似地，
\[ \begin{aligned} -N &= -\sum\limits_{\pi\notin A_m}\prod\limits_{i=1}^m\sigma_{\pi(i)}\alpha_i \end{aligned} \]其中\(A_m\)是交错群，它由对称群\(S_m\)中的偶置换构成。于是我们有
\[ \begin{aligned} \tau P &= \sum\limits_{\pi\in A_m}\prod\limits_{i=1}^m\tau\circ\sigma_{\pi(i)}\alpha_i\\ &=\sum\limits_{\pi\in A_m}\prod\limits_{i=1}^m\sigma_{\tilde\tau(\pi(i))}\alpha_i\\ &=\sum\limits_{\pi\in \tilde\tau A_m}\prod\limits_{i=1}^m\sigma_{\pi(i)}\alpha_i\\ \end{aligned} \]上式在\(\tau\)是\(\{\sigma_1,\cdots,\sigma_m\}\)上偶置换时化为
\[ \begin{aligned} \tau P &= \sum\limits_{\pi\in A_m}\prod\limits_{i=1}^m\sigma_{\pi(i)}\alpha_i\\ &= P \end{aligned} \]当它是奇置换时，
\[ \begin{aligned} \tau P &= \sum\limits_{\pi\notin A_m}\prod\limits_{i=1}^m\sigma_{\pi(i)}\alpha_i\\ &= N \end{aligned} \]通过类似的计算也可以得到
\[ \tau N=N \text{ or } \tau N=P \]分别在\(\tau\)为偶置换和奇置换时成立。
(2)：这是因为，首先，\(\sigma_i\alpha_j\)都是\(K\)上的代数整数，于是根据\(P,N\)的构造，\(P+N,PN\)也是\(K\)上的代数整数，又因为\(P+N,PN\in\mathbb{Q}\)，因此它们是\(\mathbb{Q}\)上的代数整数，即\(P+N,PN\in\mathbb{Z}\)。