本文讨论代数数论中的一个基本的定理，并在J.S. Milne, Algebraic Number Theory中Theorem 3.7的基础上补充一些细节。
基本表述：（定理 3.7）设\(A\)是戴德金整环（Dedekind domain），每个非零理想\(\mathfrak{a}\subsetneqq A\)都能被写成
\[ \mathfrak{a} = \mathfrak{p}_1^{r_1}\cdots\mathfrak{p}_n^{r_n} \]的形式，其中\(\mathfrak{p}_i\)是不同的素理想，并且\(r_i>0\)，并且\(\mathfrak{p}_i\)与\(r_i\)都是唯一确定的。
证明：（J.S. Milne）引理 3.8表明，\(\mathfrak{a}\)包含了某个非零素理想之积：
\[ \mathfrak{b} = \mathfrak{p}_1^{r_1}\cdots\mathfrak{p}_m^{r_m} \]不妨设\(\mathfrak{p}_i\)是不同的素理想，那么有如下同构
\[ A/\mathfrak{b} \simeq A/\mathfrak{p}_1^{r_1}\times \cdots\times A/\mathfrak{p}_m^{r_m} \simeq A_{\mathfrak{p}_1}/\mathfrak{q}_1^{r_1}\times \cdots \times A_{\mathfrak{p}_m}/\mathfrak{q}_m^{r_m} \]其中\(\mathfrak{q}_i=\mathfrak{p}_i A_{\mathfrak{p}_i}\)，中国剩余定理保证了上述中第一个同构，而引理 3.10保证了第二个同构。我们知道，在每个离散赋值环（discrete valuation ring）\(A_{\mathfrak{p}_i}\)中，\(\mathfrak{q}_i\)是\(A_{\mathfrak{p}_i}\)唯一的极大理想，于是\(\mathfrak{a}/\mathfrak{b}\)在上述同构下的像可以表示为
\[ \mathfrak{q}_1^{s_1}/\mathfrak{q}_1^{r_1}\times \cdots \times\mathfrak{q}_m^{s_m}/\mathfrak{q}_m^{r_m} \]其中\(s_i\le r_i\)，此外，上式还是
\[ \mathfrak{p}_1^{s_1}\cdots \mathfrak{p}_m^{s_m} \tag{1}\label{1} \]在上述同构下的原像，从而
\[ \mathfrak{a} = \mathfrak{p}_1^{s_1}\cdots \mathfrak{p}_m^{s_m}\subset A/\mathfrak{b} \]这也就是说
\[ \mathfrak{a} = \mathfrak{p}_1^{s_1}\cdots \mathfrak{p}_m^{s_m}\subset A \tag{2}\label{2} \]现在我们证明上述分解是唯一的，假设\(\mathfrak{a}\)在\(A\)中有两种分解方式，首先通过添加指数为\(0\)的素理想来补全两种分解方式中未出现在另一分解中的素理想，现在不妨设
\[ \mathfrak{p}_1^{s_1}\cdots \mathfrak{p}_m^{s_m} = \mathfrak{a} = \mathfrak{p}_1^{t_1}\cdots \mathfrak{p}_m^{t_m} \]于是
\[ \mathfrak{q}_i^{s_i} = \mathfrak{a} A_{\mathfrak{p}_i} = \mathfrak{q}_i^{t_i} \]必然有
\[ s_i=t_i \]本文的剩余部分给出该证明的两个附注。
\eqref{1}：首先，根据引理 3.10，显然\(\mathfrak{p}_i\)是\(\mathfrak{q}_i\)的原像。此外，根据中国剩余定理，
\[ \begin{aligned} &\mathfrak{p}_1^{s_1}/\mathfrak{p}_1^{r_1}\times\cdots\times\mathfrak{p}_m^{s_m}/\mathfrak{p}_m^{r_m}\\ \mapsto\quad & (\mathfrak{p}_1^{s_1}/\mathfrak{p}_1^{r_1},\cdots,\mathfrak{p}_m^{s_m}/\mathfrak{p}_m^{r_m})\\ =\quad & (\mathfrak{p}_1^{s_1}\cdots \mathfrak{p}_m^{s_m}/\mathfrak{p}_1^{r_1},\cdots,\mathfrak{p}_1^{s_1}\cdots \mathfrak{p}_m^{s_m}/\mathfrak{p}_m^{r_m})\\ \mapsto\quad & \mathfrak{p}_1^{s_1}\cdots \mathfrak{p}_m^{s_m}/\mathfrak{p}_1^{r_1}\cdots \mathfrak{p}_m^{r_m} \end{aligned} \]\eqref{2}：设\(A\)中所有包含\(\mathfrak{b}\)的理想的集合为\(B_1\)，\(A/\mathfrak{b}\)上所有理想的集合为\(B_2\)，我们尝试构建双射
\[ B_1\rightarrow B_2,\quad \mathfrak{a}\mapsto \mathfrak{a}/\mathfrak{b} \]首先，对于\(B_2\)中的每个理想\(\mathfrak{a}/\mathfrak{b}\)，都存在原像\(\mathfrak{a}\in B_1\)。其次，设它有两个原像\(\mathfrak{a}_1\)、\(\mathfrak{a}_2\)，则下述推导是显然的（证明留做习题）
因此上述映射的确是双射。最后，只需注意到
\[ \mathfrak{a}/\mathfrak{b}=\mathfrak{p}_1^{s_1}\cdots \mathfrak{p}_m^{s_m},\qquad \mathfrak{b}\subset \mathfrak{a} \]